※ 이 글은 증명하는 글이 아닙니다.

대충 사례나 수열을 나열한 다음 감으로 때려잡은 글입니다.

심각하게 읽지 마세요.

버스를 타고 가다 이런 생각이 들었다.

어렸을 때 읽은 여러 잡서들 중에서 "똑같이 생긴 물건들이 몇개 있는데 그 가운데 하나가 무겁다. 이때 이 무거운 물체를 솎아내기 위해 양손저울을 최소한으로 이용한다면 몇 번 이용해야 하는가"라는 식의 문제들이 많았던 것으로 기억난다. 몇 번이 필요한 것일까?

두 개의 물체 중 어느 것이 무거운지를 알기 위해서는 한 번만 달면 된다.
세 개의 물체라면 물제 하나를 빼 놓고 한 번만 달면 된다. 만약 두 무게가 같으면 처음 빼놓은 하나가 무거울 것이고, 아니면 두개를 다는 중에 하나가 가벼우니 위로 올라갈테니 말이다.
네 개의 물체라면 두 번을 달면 된다.
...
열세 개의 물체라면 우선 하나를 빼고 열두 개를 반으로 나눠 여섯개씩 달아 본다. 무거운 여섯를 반으로 나눠 다시 세개씩 달아 본다. 세개에서 한 개를 빼고 나머지 두 개를 달아 본다.
...


이런식으로 진행할 경우 다음의 결과가 나온다.
[괄호 안의 부호는 다음을 의미한다]
0 : 달 필요 없음.
1 : 하나를 뺀다.
L : 반으로 나눠 천칭에 달아본다.

0 : 0 (0)
1 : 0 (0)

2 : 1 (L)
3 : 1 (-1, L)

4 : 2 (L, L)
5 : 2 (-1, L, L)
6 : 2 (L, -1, L)
7 : 2 (-1, L,  -1, L)

8 : 3 (L, L, L)
9 : 3 (-1, L, L, L)
10 : 3 (L, -1, L, L)
11 : 3 (-1, L, -1, L, L)
12 : 3 (L, L, -1, L)
13 : 3 (-1, L, L, -1, L)
14 : 3 (L, -1, L, -1, L)
15 : 3 (-1, L, -1, L, -1, L)

16 : 4 (L, L, L, L)
17 : 4 (-1, L, L, L, L)
18 : 4 (L, -1, L, L, L)
19 : 4 (-1, L, -1, L, L, L)
20 : 4 (L, L, -1, L, L)
21 : 4 (-1, L, L, -1, L, L)
22 : 4 (L, -1, L, -1, L, L)
23 : 4 (-1, L, -1, L, -1, L, L)
24 : 4 (L, L, L, -1, L)
25 : 4 (-1, L, L, L, -1, L)
26 : 4 (L, -1, L, L, -1, L)
27 : 4 (-1, L, -1, L, L, -1, L)
28 : 4 (L, L, -1, L, -1, L)
29 : 4 (-1, L, L, -1, L, -1, L)
30 : 4 (L, -1, L, -1, L, -1, L)
31 : 4 (-1, L, -1, L, -1, L, -1, L)

32 : 5 (L, L, L, L, L)
33 : 5 (-1, L, L, L, L, L)


그렇다면,
1. 동일한 물체 a개에 a와 외관은 같으나 무게가 다른 물체 b가 단 하나 섞여있을 경우 이 물체들의 전체 갯수를 n이라 할 때, 양손저울(천칭)을 가지고 b을 솎아내기 위해 서 필요한 최소한의 수 L은 몇인가?

거거슨...
L=log_2 n (L은 0 또는 자연수) 이를 임의대로 천칭수(Libra)라고 하자. 그냥 -_-... 뽀대.

ex.) n=1000일 경우
log_2 512 = log_2 2^9=9 < log_2 1000 < log_2 1024=log_2 2^10 =10
1000개의 물체 가운데 무게가 다른 물체 하나를 솎아내기 위해서는 총 9번 천칭에 매달면 된다.

즉, 1000의 천칭수는 9이다.

1000개의 물체 가운데 섞여있는 것 하나를 솎아내는 전 과정을 서술하면 다음과 같다.
1000 -> 둘로 나누어 달기 (L)
500 -> 둘로 나누어 달기 (L)
250 -> 둘로 나누어 달기 (L)
125 -> 하나 빼고, 둘로 나누어 달기 (-1, L)
62 -> 둘로 나누어 달기 (L)
31 -> 하나 빼고, 둘로 나누어 달기 (-1, L)
15 -> 하나 빼고, 둘로 나누어 달기 (-1, L)
7 -> 하나 배고, 둘로 나누어 달기 (-1, L)
3 -> 하나 빼고, 둘로 나누어 달기 (-1, L)
전체적인 총 과정은,
L, L, L, -1, L, L, -1, L, -1, L, -1, L, -1, L
의 순서로 진행된다.


그런데 저 빼는 과정에서 무게가 다른 물체 하나가 솎아나올 수 있지 않을까? 그럴 경우의 확률을 구해서 평균값을 낼 수 있지 않을까? 그러니까, 하나 빼는 과정 중에서 무게가 다른 물체 b가 걸릴 확률같은것.

예를 들어,
세 개일 때 하나 빼둔 것이 무게가 다른 것일 수 있는 확률은 33.3333%
일곱 개일 때 하나 빼둔 것이 무게가 다른 것일 수 있는 확률 14.2857%, 두번째로 하나 뺀 것이 무게가 다른 것일 수 있는 확률은 33%
서른 한 개일 때, 처음 뺀 것이 걸릴 확률은 3.2258%, 다음 뺀 것이 걸릴 확률은 6.6666%, 그 다음 뺀 것이 걸릴 확률은 14.2857%, 그 다음은 33.3333%

당연히 처음 솎아낸 것이 걸릴 확률은 점점 낮아지며, 나중에는 저울을 잴 수록 전체 갯수는 줄어들게 되므로 솎아낸 것이 무게가 다른 것일 수 있는 확률은 점차 증가하며 그 최대치는 33.3333%이다.



2. 그렇다면 임의의 물체 a와 그 안에 섞인 단 하나의 무게가 다른 물체 b가 있을 경우 이 총 수를 n(=a+1)이라 할 때, 무게를 재기 위하 하나 빼는 조작을 통해 무게가 다른 물건b가 솎아내질 확률 N은?

N_0=0
N_1=0

N_2=0
N_3=1/3                ☆

N_4=0
N_5=1/5
N_6=1/3                ☆    
N_7=1/7+1/3            ☆

N_8=0
N_9=1/9
N_10=1/5
N_11=1/11+1/5
N_12=1/3                ☆
N_13=1/13+1/3            ☆
N_14=1/7+1/3            ☆
N_15=1/15+1/7+1/3    ☆

N_16=0
N_17=1/17
N_18=1/9

2차 평편위에 그래프를 그려 보면 알겠지만 불연속적인 점들이 들쭉날쭉 하면서 그려진다. 잘 살펴보면 공통점은 홀수, 또는 소수(prime number)를 분모로 한 수열 합의 극한값이 N의 최대값이 됨을 알 수 있다.

그런데 이 수가 n이 증가함으로서 커지는 경향은 있지만, 그렇다고 선형으로 커지는 것은 아니다. 그리고 크기의 증가폭도 미미하다. 가령 n의 형식이 2^k (k는 자연수)의 형식을 지닌다면 b가 하나빼기 조작(-1)의 형식으로 솎아내질 확률은 0이다. 물론 n이 커지면 커질수록, 그리고 n이 홀수(2l+1, l>=0)일수록 -1조작을 통해 b가 솎아나올 확률은 점점 커 질 것이다. 확률을 크게 만드는 것은 마지막 조작값이 -1, L로 끝나게 되어 1/3을 추가 하는 경우이다.

1/3확률을 추가하는 경우는 전체 자연수의 절반에 해당한다. 그러니까 어떤 수 n이 가 2^(m) < n <2^(m+1)일 때, n이 2^(m+1)에 가까우면 n은 1/3확률을 추가로 가지게 된다. 위의 N_x 결과의 나열을 보면 각 묶음의 절반 이후로 1/3확률이 추가됨을 알 수 있다. (별표를 붙여놓았다.) 여기서 '가깝다'라는 표현이 모호하다. (m이라고 표기한 것은 천칭수 L의 소문자인 l로 표기할 경우 가독성이 떨어지기 때문이다.)

n에 대해 1/3확률이 추가로 붙을 경우를 L_p라고 하고 이를 수식화를 하면 다음과 같다. (L_p의 의미는 천칭으로 저울질을 하다가 마지막에 3이 남는 수를 의미한다.)

L_p 발생 n >= {2^m+2^(m+1)}/2, L_p 미발생 n < {2^m+2^(m+1)}/2

ex. n=975
log_2 2^9 < log_2 975 < log_2 2^10
따라서 975개의 물체가운데 단 하나의 다른 물체가 있을 경우 9번만 솎으면 그 하나를 골라낼 수 있으며,
975> (512+1024)/2 = 768 이므로 솎아서 다른 물체 b를 추려낼 확률이 추가로 1/3 증가한다.

자연수 975의 천칭수는 9이고 L_p가 발생한다.

ex. n=1367
log_2 2^10 < log_2 1367 < log_2 2^11
따라서 1367개의 물체가운데 단 하나의 다른 물체가 있을 경우 10번만 솎으면 그 하나를 골라낼 수 있으며,
1367 < (1024+2048)/2 = 768 이므로 솎아서 다른 물체 b를 추려낼 확률이 추가로 증가하지는 않는다.
자연수 1367의 천칭수는 10이고 L_p는 발생하지 않는다.

또한 n개의 물체 가운데 때 다른 물체 b를 솎아낼 일반적인 확률식 역시 존재하지 않는 것으로 생각되는데, 우선 홀수를 분모로 하는 수열의 시그마 극한값과, 소수(prime number)수열의 극한값을 어째어째 섞어서 계산해야 할 것처럼 보인다. 홀수를 분모로 하는 수열의 극한값이야 있겠지만, 소수(prime number)의 수열의 일반식조차 아직 않았기 때문에 존재하지 않는 것으로 나는 생각한다.


그냥.

버스에서 이런 생각을 했다곰.
행여나 재미있게 읽은 분이 있다면 감사할 따름.






엠티나 모임에서 52425개의 물체가 모두 외형은 동일하지만 단 하나가 질량이 다를 때 천칭(양손저울)을 이용해서 질량이 다른 하나를 솎아내기 위해 필요한 최소의 저울질 횟수를 질문한다면 소주병으로 맞을지도.

하지만, 정답은...

log_2 2^15 < 52425 < log_2 2^16 적어도 15번만 저울질 하면 발견 할 수 있다.
또한, 52425 < (2^15+2^16)/2 = 98202 이므로 하나씩 빼는 과정에서 1/3확률이 추가되지 않는다.
자연수 52425의 천칭수는 15이고 L_p는 발생하지 않는다.

이러한 수학분야를 recreation mathematics - 유희수학이라 한다. 근데 현대에서나 유희수학이지 하루에 수천가지 물건을 주고 받는 상인의 경우 잘못된거 하나 섞여서 낭패보고 빡칠 경우에는 나름 절실하지 않았을까? 금을 다룬다던지 하는 경우 말이다.

좌우지간,
EE!!

음, 근데...

천칭에서 저울질을 하는 패턴 -1. L의 패턴을 연구할수도 있을 것이다.

이를 바탕으로 각 자연수에 따른 솎아내기 (-1)과정을 통해 질량이 다른 b가 솎아내질 확률의 합을 구하는 공식을 만들어 보는 것도 재미있을 것이다.

- 오늘의 퀘스트

n개의 물체에 외양은 동일하나 무게가 다른 물체 b가 섞여 있을 경우 b를 골라내기 위해서 필요한 최소 천칭질의 일반식은 무엇인가?

- 보상

현금 1만원.

- 조건

증명할 것.

단 수학적 도구들은 미적분 및 통계확률 까지의 고등학교 정규과정에서 배우는 수학을 사용하되, 그 이상의 방법을 사용할 경우 어떻게 그러한지에 대해 확인할 수 있는 인터넷상의 문서를 밝혀두고 사용할 것.

다 때려치고

집에서 게임만 하고 싶다.

난 꼬리표가 무섭다.

아무것도 할 수 없는 인간은

죽을 수도 없다.

이남이, 본명 이창남

1948년 08월 03일 출생

1974년 그룹 '신중현과 엽전들' 멤버

1977년 그룹 '사랑과평화' 멤버

1988년 솔로 데뷔 '울고 싶어라'

2001년 그룹 '철가방 프로젝트'

'울고 싶어라' 가사 중 이런 가사가 있었다.

떠나 보면 알 꺼야, 아마 알 꺼야

떠나 보면 알 꺼야, 아마 알 꺼야

통성을 지르는 부분이 압권인데, 이제 그는 떠났으니 아마 알겠지.

다음은 이남이씨의 작품 목록

철가방 프로젝트 2집 - 오선지위의 행복 (2003, 드림비트)     
신중현과 엽전들 : 컴필레이션 - 열창 (熱唱) (2003, KBS 미디어)     
신중현 - Not For Rock (2002, Jigu)     
철가방 프로젝트 1집 - 철가방 프로젝트 (2002, 드림비트)     
신중현과 엽전들 : 베스트 - 연주곡 베스트 (1994, Jigu)
3집 - 오 여자! (1991, Jigu)     
컴필레이션 - 이남이 베스트 (1991, Jigu)     
사랑과 평화 - Merry Christmas (1989, Oasis)     
2집 - 이남이 (1989, Jigu)     
사랑과 평화 3집 - 사랑과평화 Vol1 (1988, Jigu)
1집 - 이남이 (1988, Jigu)     
신중현과 뮤직파워 - 뮤직파워 메들리 (1984, HKR)     
세나그네 1집 - 세나그네 (1983, SRB)     
서울 나그네 - 크리스마스캐롤 앨범 (1976, Oasis)     
서울 나그네 - 고고 생음악 1집 (1976, Oasis)
신중현과 엽전들 - 엽전들의 경음악 2집 (1975, Jigu)     
신중현과 엽전들 : demo - 선녀 (1975)     
신중현과 엽전들 2집 - Shin Jung Hyun & Yup Juns Vol.2 (1974, Jigu)     
신중현과 엽전들 - 엽전들의 경음악 1집 (1974, Jigu)     
신중현과 엽전들 1집 - 신중현과 엽전들 (1974, Jigu)
신중현과 엽전들 1집 - 신중현과 엽전들 (1974, Jigu)

눈이 오니 잊은 사랑에 대한 회한도 없이 그저 퇴근길을 걱정해야 하는 지금의 삶에 크게 불만이 있던 것은 아니었다. 비가 내려 빙판길로 변해 발딛기 겁나는 인도의 상황에 마음이 졸은 것도 아니었다.

나른하다.

오늘 지하철에서 분명하게 알게 된 것 ─ 나는 특이한 순간에 늘 머뭇거린다.

그것은 다음과 같이 이해되어질 수 있을 것이다.

a. 특이한 순간, 확실하게 마음을 접는 강단이 나에게는 없다.

b. 특이한 순간, 확실하게 '내꺼'라고 분명한 선언을 내리는 용단이 나에게는 없다.

처음의 것은 나의 과잉된 자의식과 연결되어 있어서 기실 내가 손을 내밀기 전에 상대가 손을 내밀길, 아니 최소한의 어떤 신호라도 건네길 바라는 마음이 큰 것이다. 낚시꾼이랄까, 뭔가 신호가 있어야 잡아당긴다는 것. 따라서 나는 하염없는 - 미숙한 낚시꾼마냥 초조해한다. 따라서 몸은 자연스레 불안해지고 행동은 과잉되고 시선은 어색해진다.

두번째의 것은 나의 우유부단함에 기인하는 바가 크다. 내꺼인 것은 내꺼가 아닌 것들에 대한 선언이기도 하다. 애매한 상태를 유지함으로서 내가 원하는 모종의 단물만을 원하는 것이다. 사정이 이러하다면 우유부단한 이들은 아무리 생각해봐도 지독한 에고이스트라 할 수 있겠다. 물론 그렇지는 않을 것이다.

특이한 순간이란.
글쎄. 겨울이 되면 눈이 내리고 가을이 오면 단풍지는 그런거 말고. 마른 하늘에 날벼락. 세계경제 호황속에 주가 대 폭락. 한번쯤은 생각해봄직한 백일몽 같은 것들. 아니면 거대한 파국. 그런 상황에서 몸을 웅크리건 주식을 꾹 참고 홀딩하건, 뭔가 액션이 있어야 하는데 그런 것들이 나에게서 도통 찾아 볼 수 없다는 것이다. 그러니까, 어떤 종류의 input&output이 있어서 이러저러한 종류의 사건의 가지들이 보이는 거 말고, 사건이 지나고 나서야 정리되어지는 종류의 것들. 특이한 순간.

어쩌면 나는 내 마음을 접기 위한 일련의 행위들과 그에 수반되는 고통을 둘러싼 감정들에 대해 회피하는 것일 지 모른다. 노골적으로? 그래, 노골적으로. "저 사람이 나를 싫어한다는 것을 확인하고 싶지 않다"거나 "이렇게 감정적으로 휘둘리고 공상하느니 지레 포기하고 말겠어"거나. 이런거다. 이러니 삶에 액션이 없다. 재미가 없다는 말이다.

그래서 도박과 비슷하게 일을 진행하거나 연애 수작질을 걸거나 책을 읽거나 좌우지간 '감'과 '낌새'와 '냄새'등 이루 비루하기 짝이 없는 도통 이상한 말로 우선 형체를 알아볼수 없게 피떡을 만들어 놓은 후, 소주 두어병과 함께 선천적 종합판단을 했다는 명분으로 이래저래 낚아보려 한다. 그건 잘못된 것이다. 하등 나에게 도움이 되지 않는 것이다. 내 인생의 필름에 똑같은 장면을 새기고 또 새기는 지루하고 민망한 자위행위 필름느와르 라네쥬 이따다끼마쓰.

어찌되었건, 나에게 사랑이 없다고 느낀다.

물론 섹스는 좋다.

하지만 자위행위가 더 좋을때가 많다.

섹스는 뭐랄까. 불편하다. 같이 느끼는 나른함, 이건 한두번의 섹스로는 주어지지 않는 높은 감정.

이런 나에게도 타인을 볼 기회정도는 나 스스로 만들어 줘야 한다고 생각한다.

하지만, 내가 이까리 신지에 티끌만이라도 공감했으며 위악일지언정 눈물 반 방울 떨구었다면 - 이래서는 안된다.

 내가 도스또예프스끼에 그토록 열광했다면 꿈 정도쯤은 드미뜨리와 함께 가는 것은 당연하다 생각한다. 나는 정치적으로 올바르고 싶지 않다. 전혀.

가난한 덕후가 할 수 있는 일은 열심히 薄學을 먹는 것이다.

물론 이 글이 시청역 지하철 역에서 어떤 사건이 있었기에 촉발되었다고 말 할 순 없다. 중요한 것은 평상시 혼자 있을때 하는 생각 중에서 근 몇년간 전혀 난입할 가치조차도 없던 그런 인물과 가끔은 생각하던 사건이 겹쳤다는 것이다. 담배꽁초를 무심히 던졌을 때 하수구 들어갈 확률 그런 것 보다 아주 조금 낮은 확률의 일이 일어난 것 뿐이다. 아무 말 없이.

어찌되었건, 나의 미노리쨩은 카와이하고도...