diary

수학의 영역 (7차에서)

1. 수와 연산

2. 측정

3. 확률과 통계

4. 문자와 식

5. 규칙성과 함수

6. 도형

 

(개정 7차에서)

문자와 식, 규칙성과 함수 영역이 합쳐져서 규칙성과 문제해결

So, 수와연산, 측정, 확률과 통계, 규칙성과 문제 해결, 도형

 

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측정 영역

 

1. 양의 개념 : 사물의 크기와 관련하여 대소의 차이를 느끼게 하는 추상적인 개념.

- 측정 영역에서 다루는 양 : 대소, 장단, 광협, 고저,다소 등으로 표현될 수 있는 것... (상대적 개념)

- 양의 개념 이해 : 사물을 비교, 조작하는 활동이 필요하다.. (양의 학습은 측정의 방법을 탐구하는 것이다.)

 

- 양 : 이산량(분리량)/ 연속량 (외연량+내포량)

이산량 : 더이상 분할할 수 없는 양. 독립된 개체의 수를 나타내는 양, 세다, count, how many..

연속량 : 분할 가능한 양. 재다, measure, how much..

 

- 외연량 : 사물의 외형적인 크기 (가법적)

ex) 길이, 넓이, 부피, 시간, 무게, 들이

- 내포량 : 사물의 속성의 크기 (비가법적.....120km+50km...의미가 없다..) 

ex) 속도, 밀도, 농도, 온도, 기울기 .................외연량의 비로써 나타남

 

연속량은 측정의 주요 대상이고.... 실수의 연속성과 관계있다..

 

 

2. 양의 기본 성질 : 비교성, 가법성, 연속성

 

- 비교성 : 동류의 양은 비교 가능 (무게 - 높이 X) 두 양이 공통성을 보유해야 함.

* 아이들이 모를 수 있다!

 

- 양의 비교 방법 (직접비교, 간접비교)

 

- 직접비교 : 대상을 직접 이동하여 겹치거나, 견주어 봄으로써 양의 대소를 비교하는 방법

* 양의 보존성이 전제 (물체를 이동, 분할, 변형, 합성해도 양의 크기가 변하지 않는다는 양의 불변성을 의미)

ex) 찰흙-무게의 보존성 / 평행사변형의 넓이-넓이의 보존성

견주어본다는 것은...눈 짐작을 포함하는 건가? 그게 직관비교인가? 직관 비교는 직접 비교에 포함되는거?

 

- 간접비교 : 매개물이나 계기를 사용하여 측정한 수치로 양을 비교하는 방법

* 양의 독립성이 전제 (양은 그것이 소속된 물체와는 독립된 개념이므로 다른 물체로 대치 가능하다는 것을 의미)

형식화 : 같은 종류의 두 양 a,b에 대하여 a=c, b=d, c>d이면 a>b이다. (자의 길이나 물체의 길이나 같다는거지..)

그렇다면 양팔 저울로 두 물체를 비교하는건 간접비교라 하는데..양손으로 두 개의 무게를 가늠해보는 건?

도구를 쓰고 안쓰고의 문제인가..

 

- 가법성 : 같은 종류의 두 양을 합병하여 한 양으로 만들 수 있다는 의미

같은 종류의 양은 물체에 관계없이 합을 생각할 수 있다.

형식화 :  a=b. c=d 이면 a+c=b+d

합병해서 얻어지는 양은 합하는 순서와는 무관하다 (교환법칙)

형식화 a+b=b+a

몇개의 양을 합하거나 몇개의 부분으로 나누어도 양의 크기는 불변 (결합법칙)

형식화 (a+b)+c=a+(b+c)

 

- 연속성 (측정 가능성을 바탕에 두고 시작)

형식화 : 두 양 a, b에 관하여 a>b 이면 a>c>b인 c가 존재 (서로 다른 두 양에 대하여 그 사이에 존재하는 양은 무수히 많다........실수의 연속성

ⓐ a>b 이면 a 

(아무리 a가 커도 더 큰수가 존재한다는 뜻) .........아르키메데스의 원리

ⓑ 양 a와 자연수 n에 대하여 a=nb인 양 b가 존재한다. 

(양은 얼마든지 등분할 수 있다.)..................양의 등분성

 

* 양의 연속성과 등분성으로서 모든 양은 측정 가능

* 양의 비교성, 가법성, 연속성에 의하여 양은 실수로 대치될 수 있고, 수와 연산을 활용할 수 있게 된다.

 

 

3. 측정의 의미와 단위계

 

- 측정의 의미 : 측정하고자 하는 대상의 적합한 속성, 단위,도구를 선택한 후, 그 대상에 단위가 몇번 포함되는지를 찾는 것.

ex) 사람 - 몸무게 - kg - 체중계

 

- 측정에 의해 얻어진 양 : 그 단위에 의한 측도 (measure) 혹은 측정값이라고 함..

 

* 여기서 중요한 것은 어림이다.

ex) 키 - m는 의미가 없다..적합한 단위를 찾는 것이 중요...

 

- 양의 지도 순서

ⓐ 직접비교 : 직관비교

ⓑ 간접비교 : 임의 단위(뼘, 막대기 등) -> 보편단위 (cm, m...)

 

임의 단위는 뼘, 막대기 등등... 임의단위를 사용하다 보면 양의 독립성이 체득된다고 함.

이 때의 문제점은 어쨌든 오차는 의사소통의 문제를 발생시키고, 매개물이 없어진다던지 하면 측정이 무의미해짐.. 그래서 이 때 아이들은 보편단위의 필요성을 느끼게 된다고..함.. 

 

ⓒ 직접측정 :  측정 도구나 계기를 이용하여 측정하는 방법

ⓒ-1. 단위로 분할하는 측정 (가장 기초적인 측정 방법.........홉, 되, 막대기 등등..)

양을 적절한 크기로 분할하여 분리량화해서 측정하는 방법

So, 자연수를 바탕으로 함 => 연속량 지도 + 근사값 지도 (와 관계 있음)

ex) 막대기 세개 반이 나왔다... 세개보다 길고 네개보다 짧은..?? 어떤 것??

ⓒ-2. 눈금을 이용한 측정 (저울, 시계, 매스실린더, 각도기 등..)

양을 계기판의 수치나 눈금에 대치시키는 측정방법.

* 눈금에 의한 시각화라고도 함... 이때 사전 지식이 필요하다는거... 그래서 손조작(손떨림이 있는지, 시력은 안나쁜지 등등)에 대한 이야기도 있음. 

ⓓ 간접측정 : 직접측정의 결과값과 수학을 이용하여 측정하는 방법 

ex) 큰 배의 무게, 강우량, 원의 넓이, 부피, 산의 높이 등...

* 고학년 측정학습의 본질은 간접측정의 방법을 개발하는 것이라고도 할 수 있다...

예를들면 갑판하나의 무게는 몇 kg이고 배는 총 몇개의 갑판으로 이루어져 있다는 둥... 

일부분의 무게를 재어서 전체를 측정, 닮음비를 이용해 나무의 높이를 측정... 

 

- 국제 단위계 SI  : 기본단위, 보조단위, 유도단위

 

- 기본단위 : 길이 meter (m) 질량 kilogram (kg) 시간 second (s) ----mks단위계

전류 Ampere (A) 온도 Kelvin (K) 물질량 mole(mol) 광도 candela (cd)

 

- 보조단위

pico(10의 -12제곱) - nano (10의 -9제곱) - micro (10의 -6제곱)  - mili (10의 -3제곱) - centi (10의 -2제곱) - deci (10의 -1제곱) - unit (10의 0제곱) - deca (10dml 1제곱) - hecto (10의 2제곱) - kilo (10의 3제곱) - mega (10의 4제곱) - giga (10의 5제곱) - tera (10의 6제곱)

 

- 유도단위 : 기본단위 + 보조단위

넓이, 부피, 속력(m/s), 밀도( kg/m3...질량/부피) , 농도(   )

대부분의 내포량은 유도단위로 표현

 

 

* 부피와 들이의 차이점은 ?  부피-차지하는 크기, 들이 -용기안에 담을 수 있는 양

* 속도와 속력의 차이점은 ? 속도 - 변위의 변화량/시간의변화량, 속력 - 거리의 변화량/시간의 변화량

그래서 속력에는 방향성이 없다..

* 농도 단위와 계산법은 ? 

ⓐ 용액의 질량/용질의 질량 = %

ⓑ 화학에서... 몰농도 mol/L

 

그럼 ppm은 뭐야 -_-