천천히 당신의 길을 가세요

본문

곡면의 한 점 P에서 Gradient는 Normal Vector이다.

그렇다면 함수 F(P)의 gradient는 어떤 의미? 

먼저 Gradient가 정의되는 과정을 생각해봐야 한다. 시작은 점 P에서 v에 대한 기울기 Dv F(P)부터이다.

v에 대한 기울기는 기하학적으로 직선 tv 에 대한 기울기 Dv  = lim(t-->0) { F(P+tv) - F(P) / |tv| } = d / dt {t=0} F(P+tv) 로 부터 주어진다.

F(P)가 미분가능하다라는 것은 기하학적으로 (P, F(P))에서 접평면을 가진다는 의미이다.

접평면을 y = F(P) + a. (X-P)  (a == normal vector)라 하면

lim (X->P) { F(X) - F(P) - a.(X-P) /  X-P } =0  . 분자가 분모보다 더 빨리 0에 접근해야 한다. 이 때 X = P+v 라 하면

lim X-->P == lim v-->0 이다.  정리하면 위 식은   F(P+v) - F(P) - a. v  = o{v}

이 때 위 식을 다시 한 번 바꾸어보자. 아주 작은 v 를 tv (t -->0)으로 쓸 수 있다.

 lim (t->0){  F(P+tv) - F(P) - a. tv  / |tv| } = 0  ==>  Dv F(P) = a.v

그런데 이 때 v가 e1 이라면 De1 F(P) = a1 이 된다.

grad F(P) = ( D1 F(P), ... ,Dn F(P) ) =  (a1, a2, .., an) = a .

즉 Normal Vector가 된다. 더 정확히 이야기하면 함수의 등위면에서는 Normal Vector!

하지만 함수 자체에서는 다르다.  함수 자체에서 grad F(P) 는 Dv F(p) = grad F(P) . v 로 주어지고 이 말은 즉 v에 대한 기울기를 구할 때 사용된다. v를 독립변수로 생각하면 v가 grad 와 평행일 때 F(v)는 가장 빠르게 변화한다.