천천히 당신의 길을 가세요

본문

곡면의 한 점 P에서 Gradient는 Normal Vector이다.

그렇다면 함수 F(P)의 gradient는 어떤 의미? 

먼저 Gradient가 정의되는 과정을 생각해봐야 한다. 시작은 점 P에서 v에 대한 기울기 Dv F(P)부터이다.

v에 대한 기울기는 기하학적으로 직선 tv 에 대한 기울기 Dv  = lim(t-->0) { F(P+tv) - F(P) / |tv| } = d / dt {t=0} F(P+tv) 로 부터 주어진다.

F(P)가 미분가능하다라는 것은 기하학적으로 (P, F(P))에서 접평면을 가진다는 의미이다.

접평면을 y = F(P) + a. (X-P)  (a == normal vector)라 하면

lim (X->P) { F(X) - F(P) - a.(X-P) /  X-P } =0  . 분자가 분모보다 더 빨리 0에 접근해야 한다. 이 때 X = P+v 라 하면

lim X-->P == lim v-->0 이다.  정리하면 위 식은   F(P+v) - F(P) - a. v  = o{v}

이 때 위 식을 다시 한 번 바꾸어보자. 아주 작은 v 를 tv (t -->0)으로 쓸 수 있다.

 lim (t->0){  F(P+tv) - F(P) - a. tv  / |tv| } = 0  ==>  Dv F(P) = a.v

그런데 이 때 v가 e1 이라면 De1 F(P) = a1 이 된다.

grad F(P) = ( D1 F(P), ... ,Dn F(P) ) =  (a1, a2, .., an) = a .

즉 Normal Vector가 된다. 더 정확히 이야기하면 함수의 등위면에서는 Normal Vector!

하지만 함수 자체에서는 다르다.  함수 자체에서 grad F(P) 는 Dv F(p) = grad F(P) . v 로 주어지고 이 말은 즉 v에 대한 기울기를 구할 때 사용된다. v를 독립변수로 생각하면 v가 grad 와 평행일 때 F(v)는 가장 빠르게 변화한다.

본문

평면에서 한 점에 대한 Gradient는 그 점에서의 Normal Vector다. 즉 한 점에서 모든 기본 방향으로의 편미분 값이 국소적인 그 면과 수직이라는 건데..  사실 1 변수 혹은 2 변수 함수에 익숙해져 있는 사람에게는 잘 와 닿지 않는 이야기이다.

R^n --> R^n+1  이 되는 좌표에서 (P, f(P)) 점을 생각하는 것이 중요하다.  역으로 법벡터부터 생각할 때는 등위면에 대한 접평면이라는 관념을 잊지 않는 것이 중요. 차원을 햇갈리면 안된다.  즉 (P, f(P))에서는 Normal Vector는 (grad f(P), -1) 과 같은 방식이다.

차원이란 서로 Orthogonal 해서 수렴할 수 없는 것들을 말한다. 이런 점에서 사회 현상 많은 부분들은 다차원으로 생각해야 한다. 경제와 이데올로기. 자연과 인간사회, 등등이 그러한 것들이리라. 좀 더 복잡하게 많은 차원들을 제시할 수도 있을 것이다.  대부분의 사회 현상은 스칼라가 아니라 벡터라는 점에서 다변수 함수에 좀 더 익숙해질 필요가 있다.

본문

물질파 이론에 따르면 일견 무규칙해보이는 파동은 사실 파동 묶음이다. 즉 푸리에 변환으로 분해하면 많은 정규 사인파로 나누어지고, 이 정규파들은 물질을 이루고 있는 각각의 원소들에 대응한다.

그렇다면 경기 곡선을 분해하면 어떠한 곡선들이 나올까? 슘페터가 종합했던 순환 묶음이 나올까?  

자본주의 경제가 몇 개의 정규파들로 구성되어 있다는 것이 옳은 가정일까?

뒤메닐 식으로 이야기하면 1890년대와 1980년대를 터닝 포인트로 하는 기술 변화 곡선이 있을 테고... 10-20년 짜리 주글라 곡선이 있고...  미국 정부의 정책 변화 곡선이 있을까... 이 종합이 자본생산성 변화 곡선이 되는가?   ...

본문

본문

curl(F) ==  lim(A->0) integral(closed circle,){F dot ds} / A  = ( nabla x F) dot dn

Stoke's theorem integal(closed circle) {E dot dl) = integral {(nabla x E) dot dA}

컬은 벡터장의 회전율이다. 컬은 이 회전율의 적분이 선적분으로 계산될 수 있다는 것을 보여준다.

벡터장의 회전율이 회전 속도가 아님을 주의하자. 

"The physical significance of the curl of a vector field is the amount of "rotation" or angular momentum of the contents of given region of space." by mathworld

본문

VolumeIntegral ( div(F))dV = SurfaceIntegral ( F dot dS)

More precisely, the divergence theorem states that the flux of a vector field on a surface is equal to the triple integral of the divergence on the region inside the surface. Intuitively, it states that the sum of all sources minus the sum of all sinks gives the net flow out of a region.(quoted in Wikipedia)

벡터는 미시적 혹은 개별자의 행동. 즉 국민단위에서 개별자 행동으로 인한 변화도를 스칼라로 변환하여  총합하면 국민총계(플럭스)와 같다. 경험주의적 한계로 인해 개별자의 행동을 모두 divergence 하는 것은 불가능하다라고 생각한다면, 당연히 국민총계로 수준에서 생각하는 것이 옳다.

전형문제를 개별 가격이 아니라 민족국가 수준에서의 화폐 가치와 노동의 화폐적 표현 상수를 도입하여 생각하는 뒤메닐의 해법이 옳다.